프랙탈
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 27일 (일) 02:36 판
유한한 영역 - 무한한 경계
정의 : 언제나 부분이 전체를 닮는 자기 유사성(self-similarity)과 소수(小數)차원을 특징으로 갖는 형상
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(1) 왼쪽 위의 삼각형의 둘레를 P1 그 옆의 삼각형을 P2, 왼쪽아래를 P3, .... 로 한다면
\(P_{n+1}=\frac{4}{3}(P_{n})\) 의 점화식이 성립되며, 따라서 n 을 무한대로 보내면 둘레는 무한으로 발산한다.
(2) (1)의 순서로 삼각형의 넓이를 S1, S2, ... 라 하자. 정확한 식을 위해 처음 한 변의 길이를 a 라고 하면, \(S_{1} = \frac{\sqrt3}{4}a^2\) 이다.
S2에서 원래 삼각형과 늘어난 삼각형의 길이비는 3:1 이고 넓이비는 9:1 이다. 따라서 \(S_{2} = S_{1} + \frac{3}{9}S_{1}\)
마찬가지로 \(S_{3} = S_{2} + \frac{12}{81}S_{1}\), \(S_{4} = S_{3} + \frac{48}{729}S_{1}\)
즉, 둘째 항부터 등비수열을 이루는 수열이다. 무한등비수열의 공식을 쓰면 \(\lim_{n \to \infty} S_{n}=\frac{8}{5}S_{1}\) 로 수렴한다.
이상의 프랙탈은 코흐의 눈송이 곡선으로 , 이외에도 시어핀스키 프랙탈 등이 있다. 프랙탈의 시작은 해안선의 길이를 측정하면서부터라고 전해진다.