피보나치 수열

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 7월 30일 (목) 19:02 판
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간단한 소개
  • 정의
    • \(F_0=0, F_1=1\)
    • \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\)
  • 잘 알려진 성질들
    • 황금비와 많이 관련되어 있음.
    • \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887\cdots\)
       
    • \(\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi\)
    • \( F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}\)
  • 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.
    \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1\)
    \(\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi\)

 

 

피보나치 수열의 일반항

수열의 생성함수는 

\(s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}\)

가 됨을 다음과 같이 보일 수 있다.

\(\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= x + x\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= x + x s(x) + x^2 s(x) \end{align}\)

 

이제 이 함수를  피보나치 수열에 대한 정보가 줄줄줄 튀어나오게 될 것이다. 가령 이 함수를 미분해서 테일러 전개를 하게 되면, 반드시와 같은 수를 얻게 된다. 앞에 수가 바로 황금비다. 피보나치 수열 얘기를 하다보면, 어김없이 황금비가 등장하는 이유를 설명한다. (다시 한번 얼마 전에 포스팅한 꽃은 왜 아름다운가의 동영상을 보라. 하나 주의할 점은 황금비가 1.618인 것은 아니다)

 

 

황금비와 피보나치 수열

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자연과 피보나치 수열

[1]

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재미있는 사실
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