함수 다이로그 항등식(functional dilogarithm identity)

수학노트
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개요
  • 로저 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm) 가 만족시키는 두 함수 항등식의 일반화
    • 2항 관계식, 반사공식(오일러)
      \(0\leq x \leq 1\) 일 때, \(L(x)+L(1-x)=L(1)\)
    • 5항 관계식 (5-term relation)
      \(0\leq x,y\leq 1\) 일 때, \(L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\Left( \frac{1-x}{1-xy} )\right)=2L(1)\)
       
  • 클러스터 대수(cluster algebra) 를 이용하여 일반화됨
  • n 변수로 구성된 \((n^2+3n)/2\) 항 관계식을 찾을 수 있음

 

 

2항 관계식

\(S=\left\{x,\frac{1}{x}\right\}\)

\(\sum_{a\in S}L(\frac{1}{1+a})=L\left(\frac{1}{\frac{1}{x}+1}\right)+L\left(\frac{1}{x+1}\right)=L(1)\)

 

 

5항 관계식

\(S=\left\{x,y,\frac{x+1}{y},\frac{y+1}{x},\frac{x+y+1}{x y}\right\}\)

\(\sum_{a\in S}L(\frac{1}{1+a})=L\left(\frac{1}{\frac{x+1}{y}+1}\right)+L\left(\frac{1}{\frac{y+1}{x}+1}\right)+L\left(\frac{1}{\frac{x+y+1}{x y}+1}\right)+L\left(\frac{1}{x+1}\right)+L\left(\frac{1}{y+1}\right)=2L(1)\)

 

 

9항 관계식

\(\left\{x,y,z,\frac{x z+x+z+1}{y},\frac{x y+x z+x+y^2+y z+2 y+z+1}{x y z},\frac{x z+x+y+z+1}{x y},\frac{x z+x+y+z+1}{y z},\frac{y+1}{x},\frac{y+1}{z}\right\}\)

\(\sum_{a\in S}L(\frac{1}{1+a})=3L(1)\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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