해밀턴의 사원수(quarternions)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 4월 5일 (일) 11:42 판
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간단한 소개
  • 복소수는 \(i^2=-1\) 을 만족시키는 수를 추가하여 얻어짐.
  • 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함.
  • 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험
  • 1843년 마침내 4차원에서, 복소수에 대응될만한 수체계를 발견함.

 

정의
  • 4원수란 \(a+bi+cj+dk\) 형태의 수이다. 여기서 \(a,b,c,d\) 는 실수, \(i,j,k\) 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼
    • \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
    • \(ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j\)
  • \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\) 는 군의 구조를 이룸

 

 

 

 

\(\cdot\) 1 -1 i -i j -j k -k
1 1 -1 i          
-1 -1 1 -i          
i i -i -1          
-i -i i 1          
j j -j k          
-j -j j -k          
k k -k            
-k -k k            

 

\(\cdot\) \(\pm1\) \(\pm i\) \(\pm j\) \(\pm k\)
   

 

   

 

 

     
         
         

 

  • 모든 4원수들의 집합을 \(\mathbb{H}\) 로 보통 표현한다.

 

 

 

 

 

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