대수적 베테 가설 풀이(algebraic Bethe ansatz)

수학노트
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하이젠베르크 XXX 스핀 고리 모형

  • 해밀토니안 $$H = \sum_{n=1}^{N-1}H_{n,n+1}+H_{N,1}$$ 여기서 $H_{i,j}$ 는 two-site 해밀토니안으로 다음과 같이 정의됨$$H_{i,j}=\frac{J}{4}(\sigma_i^x \sigma_{j}^x +\sigma_i^y \sigma_{j}^y + \sigma_i^z \sigma_{j}^z-I^{\otimes N})$$
    • J>0 는 antiferromagnet 의 모형
    • J<0 는 ferromagnet 의 모형
  • 해밀토니안을 대각화하는 문제에 베테안싸쯔가 사용된다
  • R-matrix $$\left( \begin{array}{cccc} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & c & 0 \\ 0 & c & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \end{array} \right)$$

여기서 $a=\lambda +i, b=\lambda, c=i$.

  • 모노드로미 행렬

$T_0(\lambda )=\left( \begin{array}{cc} A(\lambda ) & B(\lambda ) \\ C(\lambda ) & D(\lambda ) \end{array} \right)$

여기서 $V^{\otimes N}$에 작용하는 연산자 $A(\lambda ) ,B(\lambda ) , C(\lambda ) , D(\lambda )$ 는 다음과 같은 관계를 만족한다

$\begin{eqnarray} \left[ B(\lambda), B(\lambda') \right] \ &=& 0 \\ A(\lambda)\ B(\lambda') &=& {a(\lambda' - \lambda)\over b(\lambda' - \lambda)} B(\lambda')\ A(\lambda) - {c(\lambda' - \lambda)\over b(\lambda' - \lambda)} B(\lambda)\ A(\lambda') \\ D(\lambda)\ B(\lambda') &=& {a(\lambda - \lambda')\over b(\lambda - \lambda')}B(\lambda')\ D(\lambda) - {c(\lambda - \lambda')\over b(\lambda - \lambda')} B(\lambda)\ D(\lambda') \end{eqnarray}$


  • 베테안싸쯔 방정식

$$\begin{eqnarray} \left( {\lambda_{\alpha} + {i\over 2} \over \lambda_{\alpha} - {i\over 2}} \right)^{N} = \prod_{\scriptstyle{\beta=1}\atop \scriptstyle{\beta \ne \alpha}}^M {\lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} + i \over \lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} - i } \,, \qquad \alpha = 1 \,, \cdots \,, M \,. \end{eqnarray}$$

  • 베테안싸쯔 방정식은 다음과 같이 표현되기도 한다

$$\exp(ik_jN)\prod_{j \neq i}^{M}S(k_i,k_j)=1$$ 여기서 $e^{i k_j}=\frac{\lambda_j+i/2}{\lambda_j-i/2}$ 또는 $\lambda_j=\frac{1}{2}\cot \frac{k_j}{2}$ 그리고 $$S(v,u)=\frac{u-v-i}{u-v+i}.$$

격자 모형 : 6-vertex model

$$R(u,\eta)=\rho\left( \begin{array}{cccc} \sin (u+\eta ) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sin (u) & \sin (\eta ) & 0 \\ 0 & \sin (\eta ) & \sin (u) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sin (u+\eta ) \end{array} \right)$$

메모

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