곱하기 노이즈와 KPZ 방정식

곱하기 노이즈(multiplicative noise; MN)가 포함된 반응-확산 방정식을 콜-호프 변환(Cole-Hopf transformation)해주면 표면 성장에 관한 카다르-파리시-장 방정식(KPZ equation)이 나옵니다. 예전에 '여러가지 흡수상태의 성질 정리'라는 글에서 언급만 하고 넘어갔는데 오늘은 수식을 따라가보겠습니다.

다음과 같은 반응-확산 방정식을 봅시다.

\(\partial_t\phi(x,t)=-a\phi(x,t)-b\phi^p(x,t)+D\nabla^2\phi(x,t)+\sigma\phi(x,t)\eta(x,t)\)

우변의 첫 두 항은 '반응'에 해당하고 세번째 라플라시안 항은