보존되지 않으면 임계성은 없다

앞의 '보존되지 않는 자기조직화 임계성 모형'이라는 글에서 제시했듯이, 에너지 보존이 임계성의 필수 요소인가라는 질문에 대한 얘기를 하는 중입니다. 2년 전 세미나에서 이 주제로 발표했을 때 한 번에 너무 많은 내용을 다루려고 욕심을 냈던 것 같습니다. 그래서 산수만 정리해놓고 그게 무슨 의미인지 제대로 이해하지 못하여 마침 그런 질문이 있었는데 대답할 수 없었습니다. 오늘은 그 부분을 다시 봤습니다.

1997년 브뢰커(H.-M. Broker)와 그라스베르거(P. Grassberger)가 <피지컬 리뷰 E(PRE)>에 낸 논문에서는 에너지 보존이 임계성의 필수 요소임을 보여줍니다. 이들은 OFC 지진 모형의 랜덤 이웃 모형을 이용합니다. 한 자리에서 무너지기(toppling)가 일어나면 이웃 n개를 랜덤하게 골라서 각 이웃에 무너진 자리의 에너지에 α를 곱한만큼 에너지를 전달합니다. α는 1/n보다 작은 값으로 주어지며 무너진 자리의 에너지는 0으로