첫통과 과정(first-passage process)

passage를 한글로 뭐라고 할까 고민하다 '통과'가 무난해보여서 '첫통과 과정'으로 낙찰했습니다. 시드니 레드너(Sidney Redner)의 <A guide to first-passage processes(첫통과 과정 안내;;)>(2001)를 참고하여 기본개념을 정리하겠습니다.

책의 서문에 있는 재미있는 예를 봅시다. 당신이 동네 식당에서 애인과 7시에 만나기로 했다고 합시다. 애인은 6시 55분에 왔다가 7시 5분까지 기다린 후 걍 돌아가버립니다. 당신은 식당에 7시 6분에 도착한 후 애인이 기다렸다가 돌아갔다는 사실을 모른채 9시까지 기다리다가 역시 집으로 돌아갑니다. 집에 가서 애인에게 전화를 걸어서 "7시쯤 식당에 갔다가 9시까지 기다렸단 말야. 내가 식당에서 7시부터 9시까지 있을 확률은 거의 1이었어! 어떻게 우리가 못만날 수가 있지?"라고 묻습니다. 애인은 대답하길 "네가 식당에 있을 확률(occupation probability)은 신경 안 써. 네가 식당에 처음 도착할 확률(first-passage probability)이 중요한 거야. 그 확률은 7시 정각에는 0이었다고! 안녕."이라고 하며 전화를 끊습니다;;;;

시각 t=0에 원점(r=0)을 출발한 마구 걷개(random walk)가 시각 t에 위치 r에 있을 확률을 P(r,t)로 나타냅니다. 이 걷개는 r에 처음 왔을 수도 있고 이전에 한 번 왔다가 두번째로 왔을 수도 있고, 이미 여러 번 왔을 수도 있습니다. 이중에서도 '처음 방문/통과'하는 경우가 중요할 때가 있지요.

이 마구 걷개가 시각 t에서 위치 r을 '처음으로' 방문/통과할 확률을 F(r,t)라 부르겠습니다.