최적 수송 연결망(optimal transport network)

오늘 세미나에서 발표된 논문 내용을 정리합니다. 올해 1월에 <피지컬 리뷰 레터스(PRL)>에 실린 논문인데, 제목은 "Fluctuations and Redundancy in Optimal Transport Networks"(최적 수송 연결망에서 요동과 중복)입니다. 나뭇잎의 잎맥이나 동물의 혈관, 강줄기 따위에서 물이나 피가 수송되는데 최적화된 연결 구조로는 가지(tree) 구조가 많이 발견된다고 합니다. 가지 구조에서 연결망의 두 지점을 잇는 경로가 유일한데, 이러면 연결망 어딘가가 막힌다면 수송이 제대로 안되겠죠. 그래서 또한 두 지점을 잇는 경로가 여러 가지인 경우, 즉 중복된 경로가 존재하기도 합니다. 중복된 경로는 곧 고리(loop)가 있는 연결망을 뜻합니다.

'최적'이라는 건 어떤 주어진 조건을 전제합니다. 여기서는 연결망을 구성하는데 드는 비용이나 자원이 제약 조건이 됩니다. 간단히 2차원 사각 격자를 생각해봅시다. 각 노드 k에 외부로부터 자원 i_k가 투입된다고 합니다. 또는 전류라고 하겠습니다. 각 노드에 전류가 들어가기도 하지만 나오기도 합니다. 이 시스템에 들어가는 전류의 양과 나오는 전류의 양이 같다고 가정합니다.

\(\sum_k i_k=0\)

노드 k와 l을 잇는 링크 kl의 전도율(conductance)을 κ_kl로 씁니다. 각 노드에는 전위 u가 주어지며

\(i_k=\sum_l\kappa_{kl}[u_k(\{i\})-u_l(\{i\})]\)

지는데 어짜피 각 링크의 전위차만 중요하므로 전위 사이의 상관관계만 봅니다.

\(\langle u_ku_l\rangle\propto \langle i_ki_l\rangle\)

이로부터 링크 kl에 흐르는 전류의 양을 얻습니다.

키르히호프의 정리를 추가합니다.

\(\sum_lI_{kl}=i_k\)