요르단-위그너 변환 (Jordan-Wigner transformation)

2차원 이징 모형을 푸는 방법 중 하나(사실 이것밖에 모름;;;)를 쓰려고 하는데요, 여기에 쓰이는 요르단-위그너 변환을 미리 소개합니다. 이징 스핀이 +1 또는 -1의 값을 갖는데, 각각을 다음과 같은 벡터로 나타냅니다.

\($|+\rangle=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix},\ |-\rangle=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$\)

스핀을 -1에서 +1로, 또는 +1에서 -1로 뒤집으려면 아래 행렬을 곱해줍니다.

\(\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}:\ \sigma^+|-\rangle=|+\rangle,\ \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}:\ \sigma^-|+\rangle=|-\rangle\)

M개의 스핀이 원의 둘레 위에 균일하게 놓여 있다고 합시다. 번호를 붙이면 1번부터 M번입니다. 여기서 j번째 스핀에 작용하는 파울리 연산자(Pauli operator) σ를 페르미온 연산자(fermion operator)로 변환시켜주는 게 요르단-위그너 변환(제 맘대로 줄여서 J-W)입니다.

\(\sigma_j^+ =\exp\left\{\pi i \sum_{m=1}^{j-1} c_m^\dagger c_m \right\} c_j^\dagger,\ \sigma_j^- =\exp\left\{\pi i \sum_{m=1}^{j-1} c_m^\dagger c_m \right\} c_j\)

그럼 페르미온 연산자는 뭐냐... 페르미온 입자를 생성하기도 하고(†가 붙은 c) 소멸시키기도 하는(†가 없는 c) 연산자를 말합니다. 입자가 없는 진공 상태를 |>로 나타내겠습니다. 이 진공에 생성연산자를 이용해서 j라는 입자를 만들겠습니다.

\(c_j^\dagger |\rangle=|j\rangle\)

j를 없애볼까요?

\(c_j|j\rangle=|\rangle\)

증명은 하지 않겠지만 이 연산자들은 다음과 같은 성질을 만족시킵니다.

\([c_j,c_m^\dagger]_+\equiv c_jc_m^\dagger+ c_m^\dagger c_j =\delta_{jm},\ [c_j,c_m]_+ = [c_j^\dagger,c_m^\dagger]_+ =0\)

\(c_m^\dagger c_m |m\rangle = |m\rangle,\ c_m^\dagger c_m |\rangle = 0\)

위 아래식에서 보듯이 c†c는 입자 m의 개수를 측정합니다. 그래서 이름도 페르미온 수연산자(fermion number operator)입니다. 이 연산자의 값은 1 또는 0이므로 결국 J-W에서 지수 위의 합의 값은 음이 아닌 정수가 되고 결국 지수의 값도 +1이나 -1 중 하나입니다. 괜히 복잡해보이죠?;;; 간단히 다시 쓰면 아래와 같습니다.

\(\sigma_j^+ = \left\{\begin{array}{cl} c_j^\dagger & \textrm{if}\ \sum_{m=1}^{j-1}c_m^\dagger c_m\ \textrm{even} \\ -c_j^\dagger & \textrm{if}\ \sum_{m=1}^{j-1}c_m^\dagger c_m\ \textrm{odd}\end{array}\right.\)

이 식에서 파울리 연산자는 j번째 스핀을 -1에서 +1로 뒤집으라는 말이고, 페르미온 연산자는 j라는 입자를 생성하라는 말입니다. 그런데 왜 1부터 j-1까지 입자가 몇 개냐가 중요하며 이게 또 부호를 결정할까요. 간단한 예를 들어봅시다.

\(\sigma_3^+|+ + - \rangle=| + + + \rangle\)