띄엄띄엄 가우스 모형과 사인-고든 모형

이번 통계물리 겨울학교의 주제는 '표면 상전이(surface phase transitions)'였습니다. 표면은 공간을 둘로 나누는 경계면으로 정의할 수 있습니다. 2차원 공간의 표면은 곡선, 3차원 공간의 표면은 곡면이 되겠죠. 물컵에 물이 반쯤 담겨있다고 합시다. 물과 공기를 가르는 표면을 쉽게 볼 수 있습니다. 하지만 물컵을 가열하다보면 물이 끓으면서 표면이 점점 거칠어져서 표면을 잘 정의하기 힘들어집니다. 이것만 보더라도 평평한(flat) 표면과 거친(rough) 표면을 구분할 수 있고 이 두 표면 사이의 상전이를 이야기할 수 있습니다.

표면장력을 고려한 간단한 모형을 생각해봅시다. 다음과 같이 바닥에 정육면체 모양의 입자들이 쌓여있다고 합시다. 각 자리에 쌓인 입자의 개수, 즉 높이를 h라고 합니다. h는 정수겠죠.

 

이런 시스템의 상태는 각 자리에서의 h들만으로 기술됩니다. 어떤 상태가 갖는 에너지는 다음처럼 씁니다.

\(E(h_1,\cdots,h_N)=J\sum_{\langle ij\rangle}(h_i-h_j)^2\)

입자가 쌓이는 자리는 모두 N개가 있고 이웃한 높이의 차이만이 에너지를 결정한다고 가정했습니다. 합 기호 아래의 꺽쇠는 이웃한 자리에 대해서만 높이의 차이를 구해서 더하라는 뜻입니다. 이 에너지가 가장 낮을 때 즉 0일 때에는 모든 h가 같습니다. 즉 모든 자리에서 입자의 높이가 똑같은, 아주 평평한 표면을 이루는 상태입니다. 표면이 거칠어질수록 이 에너지는 높아지겠죠.

이제 이걸 갖고 분배함수를 씁니다.

\(Z_{DG}=\sum_{h_1=-\infty}^\infty \cdots \sum_{h_1=-\infty}^\infty e^{-\beta J\sum_{\langle ij\rangle}(h_i-h_j)^2}\)