띄엄띄엄 가우스 모형과 사인-고든 모형

이번 통계물리 겨울학교의 주제는 '표면 상전이(surface phase transitions)'였습니다. 표면은 공간을 둘로 나누는 경계면으로 정의할 수 있습니다. 2차원 공간의 표면은 곡선, 3차원 공간의 표면은 곡면이 되겠죠. 물컵에 물이 반쯤 담겨있다고 합시다. 물과 공기를 가르는 표면을 쉽게 볼 수 있습니다. 하지만 물컵을 가열하다보면 물이 끓으면서 표면이 점점 거칠어져서 표면을 잘 정의하기 힘들어집니다. 이것만 보더라도 평평한(flat) 표면과 거친(rough) 표면을 구분할 수 있고 이 두 표면 사이의 상전이를 이야기할 수 있습니다.

표면장력을 고려한 간단한 모형을 생각해봅시다. 다음과 같이 바닥에 정육면체 모양의 입자들이 쌓여있다고 합시다. 각 자리에 쌓인 입자의 개수, 즉 높이를 h라고 합니다. h는 정수겠죠.

이런 시스템의 상태는 각 자리에서의 h들만으로 기술됩니다. 어떤 상태가 갖는 에너지는 다음처럼 씁니다.

\(E(h_1,\cdots,h_N)=J\sum_{\langle ij\rangle}(h_i-h_j)^2\)

입자가 쌓이는 자리는 모두 N개가 있고 이웃한 높이의 차이만이 에너지를 결정한다고 가정했습니다. 합 기호 아래의 꺽쇠는 이웃한 자리에 대해서만 높이의 차이를 구해서 더하라는 뜻입니다. 이 에너지가 가장 낮을 때 즉 0일 때에는 모든 h가 같습니다. 즉 모든 자리에서 입자의 높이가 똑같은, 아주 평평한 표면을 이루는 상태입니다. 표면이 거칠어질수록 이 에너지는 높아지겠죠.

이걸 띄엄띄엄 가우스 모형(discrete Gaussian model; DG) 또는 고체 위 고체 모형(Solid-On-Solid model; SOS)이라 부른답니다. 이제 분배함수를 씁니다.

\(Z_{DG}=\sum_{h_1=-\infty}^\infty \cdots \sum_{h_N=-\infty}^\infty e^{-\beta J\sum_{\langle ij\rangle}(h_i-h_j)^2},\ \beta=1/k_BT\)

처음에 h를 정수로 정의했는데요, 앞글에서 썼던 푸아송 합공식을 이용하여 다시 써줍니다.

\(=\sum_{m_1=-\infty}^\infty \cdots \sum_{m_N=-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dh_1\cdots \int_{-\infty}^\infty dh_N e^{-\beta J\sum_{\langle ij\rangle}(h_i-h_j)^2+2\pi i\sum_i m_ih_i}\)

헷갈릴 수 있는데요, 분배함수의 첫번째 식에서 h는 정수지만 바로 위 식에서 h는 실수입니다. 대신 m이 정수죠. 위 식에서 m에 관한 합을 제외한 나머지 부분을 가우스 모형(Gaussian model)이라 부릅니다. 이 모형은 구면모형에 관한 글에서도 얘기한 적이 있습니다. 그리고 m을 전하(charge)라고 부릅니다.

이제 여기에 전하의 밀도를 조절하는 퓨개서티를 도입합니다. 그리고 m들에 관한 합과 h들에 관한 적분을 편의상 다음처럼 줄여씁니다.

\(Z_{DG}=\sum_{\left\{m\right\}} \int [Dh] e^{-\beta J\sum_{\langle ij\rangle}(h_i-h_j)^2+2\pi i\sum_i m_ih_i+\ln z \sum_i m_i^2}\)

z가 1보다 매우 작다고 가정합시다. 그럼 ln z 에 곱해진 값이 작아져야 하므로 m은 0이거나 +1, -1만 갖는다고 할 수 있습니다. m에 대한 합만 따로 떼어 써보겠습니다.

\(\sum_{m_i} e^{2\pi im_ih_i+(\ln z) m_i^2}\approx 1+z(e^{2\pi i h_i}+e^{-2\pi i h_i})\approx e^{2z\cos 2\pi h_i}\)

원래 분배함수에서 m에 관한 부분을 위와 같이 바꾸어쓴 것을 사인-고든 모형(sine-Gordon model; s-G)이라 부릅니다.

\(Z_{s-G}=\int [Dh] e^{-\beta J\sum_{\langle ij\rangle}(h_i-h_j)^2+2z\sum_i \cos 2\pi h_i}\)

간단히 h에 관한 코사인 항의 역할을 생각해봅시다. 지수 위에 올라간 건 에너지 또는 해밀토니안과 부호가 반대이므로 에너지가 낮아지려면 h의 코사인 항이 커져야 합니다. 즉 h가 정수가 되도록