모래더미 사태분포의 여러겹 쪽거리 분석

모래더미 모형에서 사태를 기술하는 여러 양들의 분포가 거듭제곱 꼴을 따른다는 건 이미 잘 알려져 있지요. 그런데 가장 표준적인 모형인 2차원 BTW 모형에 대해서조차 아직 정확한 해가 없을 뿐만 아니라 컴퓨터 시늉내기 결과에 대한 해석도 분분합니다. 상황을 더 어렵게 만드는 건 2차원 BTW 모형의 경우 사태의 분포가 단순한 눈금잡기 형태가 아니라 여러 눈금잡기 행동이 섞여 있는, 즉 여러겹 쪽거리(multifractal) 성질을 보인다는 겁니다.

통계물리의 보편성 분류는 하나의 분류에 포함된 모형들이 모두 같은 임계지수로 기술된다는 건데요, 즉 임계지수가 정의되면 그 값은 1개만 있어야 한다는 거죠. 예를 들어 2차원 이징 모형 분류의 임계지수 β는 1/8로 알려져 있습니다. 그런데 여러 눈금잡기 행동이 동시에 존재한다는 건 그렇게 하나의 값만을 갖는 임계지수로 보편성 분류를 나눌 수 없다는 걸 뜻합니다. 이를테면 하나의 시스템에 β가 0.1부터 0.3까지 연속적인 값을 갖는 경우가 있을 수 있겠죠.

그럼 1999년에 <피지컬 리뷰 레터스(PRL)>에 실린 테발디 등의 논문을 참고하여 얘기해보겠습니다. 시스템의 크기가 L인 2차원 격자 위에서 일어난 사태의 질량(avalanche mass = the number of topplings; 무너진 횟수)을 s라고 하고 이들의 분포를 P(s)라고 합시다. 만일 단순한 눈금잡기로 기술된다면 다음처럼 두 개의 임계지수만을 이용하여 쓸 수 있습니다.

\(P(s)\sim s^{-\tau}f(s/L^D)\)

이 분포를 이용하여 s의 q 제곱 모멘트를 구할 수 있습니다.

\(\langle s^q\rangle = \int ds s^q P(s) \sim s^{q+1-\tau}f(s/L^D)|_{s=L^D}=\left\{\begin{array}{ll}L^{\sigma(q)} & \textrm{if } q+1>\tau \\ const. & \textrm{otherwise}\end{array}\right.\)