Nested radicals

이 항목의 스프링노트 원문주소

• nested radicals

 

 

개요

• 라마누잔이 제시한 문제
  \(\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\cdots}}}}} = 3\)
  
  

 

 

증명

\(n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)}\)을 이용

\(\begin{eqnarray*}3 &=& \sqrt{1+2\cdot4}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot5}}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot6}}}\\ &=& \cdots\end{eqnarray*}\)

 

한편, \(\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}}\)

 

수열의 크기 변화를 나타내는 그래프

\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\)

[/pages/2529712/attachments/2586699 nested_radicals.jpg]

 

매쓰매티카 코드

1. f[n_][x_]:=Sqrt[1+n*x]
   a[1][x_]:=x
   a[n_][x_]:=Composition[a[n-1],f[n]][x]
   Table[a[n][x],{n,1,6}]
   DiscretePlot[a[n][1],{n,1,50}]

• 결과

\(\left\{x,\sqrt{1+2 x},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 x}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 x}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 x}}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 x}}}}}\right\}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Nested_radical

 

 

블로그

• Ramanujan's infinitely nested radicals problem[1]
  
  • New Start, Ens! , 2009-1-16