정n면체의 각도에 관하여

친구 블로그에서 재미있는 문제를 발견하여 조금 풀어봤습니다. 문제를 제가 이해한대로 다시 정리하면, n차원 공간 위에 n+1개의 점이 원점을 중심으로 반지름이 1인 초구 위에 놓여 있는데 이 점들은 모두 서로에게서 최대한 멀리 떨어져 있으려고 합니다. 이때 가까운 두 점 사이의 각도 θ는 얼마일까?가 문제입니다. 각 점의 위치로 벡터를 정의하면, 두 점 사이의 각도는 두 벡터 사이의 각도를 뜻합니다.

n=1인 경우 각 점의 위치는 -1과 +1이고 θ는 π겠죠.

n=2인 경우 단위원에 내접하는 정삼각형의 꼭지점들이 답이며, 이때 θ는 2π/3입니다.

n=3인 경우 단위구에 내접하는 정사면체의 꼭지점들이 답이며, 각도는 아래와 같습니다.

\(\theta=\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)\approx 1.91 \approx 109.5^\circ\)

이 문제를 아주 깔끔하게 푼 걸 찾았는데요, 싸이트 이름은 1073741824.org이고 여기를 눌러서 보세요.

이제 n이 3보다 큰 경우...인데 머리가 복잡해지죠;;; 간단히 생각해보면, 각 점들의 최적의 위치는 n차원 공간에서는 정n+1다면체의 꼭지점들이라고 생각할 수 있습니다. 위 싸이트의 풀이를 나이브하게 적용해보면 다음 결과를 추측할 수 있습니다.

\(\theta=\cos^{-1}\left(-\frac{1}{n}\right)\)

n을 무한대로 보내면 θ는 π/2가 됩니다. 좀더 직관적으로(?) 생각하기 위해 n=2에서 n=3으로 넘어갈 때를 봅시다. 그냥 처음부터 3차원 공간의 단위구 위라고 생각합시다. 점 3개가 서로 멀리 떨어지려고 한다면 대원