2012년 대선 개표와 로지스틱 곡선
그루터기추억의 글
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- 이번 대선 득표율 그래프는 ... 정확히 로지스틱곡선에 해당된다
- 누적득표량에 대한 로지스틱곡선들이 ... 알려주는 중요한 것들
- 로지스틱함수에 의해 사전에 계산된 ... 박근혜 후보의 득표수!!
- 로지스틱 곡선형태의 대선 득표수에 대한 합리적인 의심과 의문!
- 로지스틱곡선에 의한, 간단한 당선 유력 발표시점 산출 방법
가장 화제가 된 글의 삽질
- 여러 글 중에서도 로지스틱함수에 의해 사전에 계산된 ... 박근혜 후보의 득표수!! 는 많은 조회수와 답변을 기록
- 시간대별 로지스틱 확률함수 $p(t)$라는 것을 제시하고, 그로부터 시간대별 누적득표수를 정확히 계산할 수 있다는 주장을 해서 많은 사람들을 충격과 공포에 빠뜨림.
- $p$라는 것이 어떻게 얻어진 것인지를 이 글에서는 제시하지 않았기 때문에 고개를 갸우뚱하게 함
- 잘 들여다보면 다음과 같은 과정을 거쳐 얻어진 것으로 실은 별 엄청난 의미가 없는 것임을 알 수 있음
- 아래에서는 논리를 재구성하여 무엇이 뻘 계산인지를 밝히려 함
그루터기추억의 $p$와 $f$
- 집합 $\{1,2,\cdots, 21\}$ 를 정의역으로 하는 두 함수 $f,g$에 대하여, 함수 $p$를 다음과 같이 정의하자
$$ p(t):=\frac{f(1) f(t) g(t)}{f(1) (g(t)-1)+f(t)} $$
- 이 정의로부터 다음을 얻는다 (일명 그루터기추억의 항등식)
$$\label{fep} f(t)=\frac{p(1) (1-g(t)) p(t)}{p(t)-p(1) g(t)} $$
- 중요한 점은 함수 $g$와는 무관하게 $f$로부터 $p$를 계산할 수 있고, 마찬가지로 $p$로부터 $f$를 계산할 수 있다는 사실.
- 이 글에서 $f(t)$는 박근혜 후보의 시간 $t$에서의 누적득표수의 비율로 다음 표로 제시됨
- $g(t)=e^t$ 가 사용되었고, 여기서 로지스틱 확률함수로 부른 $p(t)$가 계산된 것임.
- $g(t)=e^t$ 의 선택 때문에 $p$의 그래프가 로지스틱 곡선과 비슷하게 나타남.
로지스틱 음모가 아니라 혹시 사인 음모론은 아닌가
- $g$를 다른 함수로 선택하면, $p$ 역시 다른 함수가 될 것임.
- 가령 $g(t)=\sin t$로 두면, $p$의 (적당한 내삽을 거쳐) 그래프는 다음과 같이 주어짐
- 물론 이 $p(t)$를 가지고도, 그루터기추억의 항등식 \ref{fep}을 사용하여 박근혜 후보의 시간대별 누적득표수를 완벽하게 계산할 수 있음
- 그러면 이것은 로지스틱 음모론이 아니라 사인 음모론인가?
요약정리
- 이 글에서 제시된 시간대별 로지스틱 확률함수 $p(t)$라는 것은 $g$가 지수함수이기 때문에 로지스틱 곡선의 모양을 하게 된 것뿐이지, 사실 박근혜 후보의 시간대별 누적득표가 로지스틱 곡선과 비슷하다는 사실과는 크게 상관이 없음.
- 가령, $g$를 사인함수로 선택하면, $p$는 사인곡선 모양을 함
- 그냥 뻘 계산임.