바일 지표 공식 (Weyl character formula)

개요

$V=L(\lambda)$ 이면, 캐릭터는 다음과 정의된다

$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in \mathfrak{h}^{*}} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$ 여기서 $V_{\lambda'}$는 $V$의 weight spaec

바일의 공식

\[\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}\]

또다른 표현
$\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}$ 여기서 $A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]$, P : weight lattice
denominator identity
${\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}$

함수로 이해하기

$e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]$
$\mathfrak{h}$에 정의된 함수로 생각하면, $x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}$
$\mathfrak{h}^{*}$에 정의된 함수로 생각하면, $\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}$
예
- $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$ 에 대하여, $A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)$
- ${\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}$

바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

$\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}$
바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

바일 지표 공식 (Weyl character formula)

목차

개요

함수로 이해하기

바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

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