스털링 수

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스털링 수

개요

$s(n,k)$ 제1종 스털링 수

$(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}$

$S(n,k)$ 제2종 스털링 수

$x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j$

제1종 스털링 수

정의\[(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\]

$(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3$

s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1

제2종 스털링 수

n개 원소를 갖는 집합을 k개의 블록으로 분할하는 방법의 수 $S(n,k)$
제2종 스털링 수

$x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j$

예)

$x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)$

생성함수

$\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}$

지수생성함수

$\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}$

벨 수열 (Bell number)과의 관계

http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number

$B(n)=\sum_{k}S(n,k)$

집합 $\{1,2,\cdots,n\}$ 의 분할의 개수

$\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.$

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

메모

http://www.soojishin.com/635

수학용어번역

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링크