실해석적 아이젠슈타인 급수
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 2월 2일 (토) 13:49 판
개요
- 정의
\[E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}},\quad \tau = x + iy,\quad y > 0\]
- 복소 타원 곡선의 스펙트럼 제타 함수
해석적 확장
- $s>1$에서 급수가 수렴하며, 전체 복소 평면으로 확장되며, $s=1$에서만 단순 폴을 가진다
크로네커 극한 공식
\[E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi\left(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right) +O(s-1)\] 여기서 \(\gamma\) 는 오일러상수, 감마, \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수
함수방정식
- $\xi(\tau,s) = \pi^{-s}\Gamma(s)E(\tau,s)$로 두면, 다음을 만족한다
$$ \xi(\tau,s)=\xi(\tau,1-s) $$
관련된 항목들
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