N차원 가우시안 적분
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 3월 26일 (화) 01:42 판
개요
- 1차원 가우시안 적분 의 n차원에서의 일반화
- A : 양의 정부호인 nxn 대칭행렬
- 가우시안 적분
\[\int_{\mathbb{R}^n}e^{-\frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}}d\mathbf{x}=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det{A}}}\]
- 1차항이 있는 경우는 다음과 같이 주어진다
$$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}b_i x_i} d^nx=\sqrt{ \frac{(2\pi)^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{2}\mathbf{b}^{t}A^{-1}\mathbf{b}} $$
일반화
- 적당한 decay 조건을 만족시키는 함수 $f$에 대하여, 다음이 성립한다
$$ \int f(\vec x) \, \exp\left( - \frac 1 2 \sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right) d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp\left({1\over 2}\sum_{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0} $$
메모
- William O. Straub, A Brief Look at Gaussian Integrals
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