숫자 23과 다항식 x³-x+1

개요

• \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\)
• 판별식이 \(\Delta=b^2-4ac=-23\)이 이차형식 \[x^2+xy+6y^2, 2x^2-xy+3y^2, 2x^2+xy+3y^2\]
  • \(h(\Delta)=3\) 이 되는 첫번째 예

상호 법칙

• 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)
• 다항식 \(x^3-x+1 \pmod p\) 가 소수 \(p\) 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
• \(\eta(\tau)\eta(23\tau)=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})(1-q^{23n})=q-q^2-q^3+q^6+q^8-q^{13}-q^{16}+q^{23}-q^{24}+q^{25}+q^{26}+q^{27}-q^{29}-q^{31}+q^{39}-q^{41}+\cdots\) 를 이용하여 답할 수 있다
• 여기서 \(\eta(\tau)\) 는 데데킨트 에타함수 \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}), q=e^{2\pi i\tau}\)

singular moduli

• 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli

메모

• class field
• \(x^3-x+1\)의 해 \(\alpha\)에 대하여, \(H=K(\alpha)\)로 정의

관련된 항목들

• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
• 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli
• 베버(Weber) 모듈라 함수