Q-이항정리
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개요
- 이항정리
\((1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(1)_n}{n!(1)_n}z^n=\,_2F_1(a,1;1;z)\)
\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r\) - q-이항정리
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^q_n}{(1-q)^q_n}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)
Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 참조 - q-초기하급수(q-hypergeometric series)
\(_{1}\phi_0 \left[\begin{matrix} a \\ - \end{matrix} ; q,z \right]\)\(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a;q)_n} {(q;q)_n} z^n\)
이항정리
- 이항계수와 조합
\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
q-이항정리[[search?q=유한곱&parent id=4783755|]]
- 유한곱에 대한 이항정리
\(\prod_{r=1}^{n}(1+zq^r)=(1+zq)(1+zq^2)\cdots(1+zq^n)= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r+1)/2}z^r\)
또는
\(\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\) - Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호를 사용한 표현
\({(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\)
\((1+z)_q^n=(-z;q)_n=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)
- q-초기하급수(q-hypergeometric series)의 오일러곱과 비교
\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_binomial
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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