Q-이항정리
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개요
- 이항정리의 q-analogue
- q-이항정리
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^n_q}{(1-q)^n_q}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)
Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 참조 - q-초기하급수(q-hypergeometric series) 을 사용한 표현
\(_{1}\phi_0 \left[\begin{matrix} a \\ - \end{matrix} ; q,z \right]\)\(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a;q)_n} {(q;q)_n} z^n\)
이항정리과 이항정리
- 이항계수와 조합
\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\) - 이항정리
\((1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} {\alpha \choose k} x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 +\cdots\)
\((1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=1+az+\frac{a(a+1)}{2!}z^2+\frac{a(a+1)(a+2)}{3!}z^3+\cdots = \,_1F_0(a;z)\) - 위 식의 우변에 대해서는 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-급수
q-이항정리
- (정리)
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^n_q}{(1-q)^n_q}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)
따름정리
- q-초기하급수(q-hypergeometric series)의 오일러곱
(따름정리)
\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
\(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
- q-이항계수[[q-이항계수 (가우스 다항식)|]]\(\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)
(증명)
\(\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)
- Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호를 사용한 표현
\((1+z)_q^n=(-z;q)_n=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_binomial
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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