바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

개요

바일 지표 공식 (Weyl character formula) 로부터 유도됨
highest weigh이 \(\lambda\)로 주어지는 단순 리대수의 기약표현은 다음과 같은 차원을 갖는다\[\dim(V_\lambda) = \prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\] 여기서 \((\cdot | \cdot)\) 는 \(\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}^{*}\)에 정의되는 Killing form, \(\rho\) 는 바일 벡터, \(\alpha>0\)는 positive root 를 뜻함

\(A_2\)의 root system을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
- \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
- \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
- \(\alpha_3=(1,0,-1)\)
- \(\rho=(1,0,-1)\)
- \(\omega_1=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})\)
- \(\omega_2=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)
\(V_{\omega_1}\) 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다\[\dim(V_{\omega_1}) = \frac{2\cdot 1\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3\]
\(V_{\omega_2}\) 의 차원은 다음과 같이 얻을 수 있다\[\dim(V_{\omega_2}) = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{1\cdot 1\cdot 2}=3\]

quantum dimension\[\chi_{\lambda}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)=\frac{A_{\lambda+\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}{A_{\rho}\left(\frac{\rho}{h+k}\right)}= \frac{\prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi(\lambda+\rho|\alpha)}{h+k}}{ \prod_{\alpha>0}\sin \frac{\pi (\rho|\alpha)}{h+k}}\]