Q-이항정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 4월 9일 (금) 12:06 판
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개요
  • 이항정리의 q-analogue
  • q-이항정리
    \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^n_q}{(1-q)^n_q}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)
    Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 참조
  • 하이네(Heine)의 정리라 불리기도 함
  • q-초기하급수(q-hypergeometric series) 을 사용한 표현
    \(_{1}\phi_0 \left[\begin{matrix} a \\ - \end{matrix} ; q,z \right]\)\(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a;q)_n} {(q;q)_n} z^n\)
  • 초기하급수의 오일러곱과 이항계수(가우스 다항식)에 대한 정리를 특별한 경우로 가진다

 

 

 

이항정리
  • 이항계수와 조합
    \((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
  • 이항정리
    \((1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} {\alpha \choose k} x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 +\cdots\)
     
    \(\frac{1}{(1-z)^{a}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=1+az+\frac{a(a+1)}{2!}z^2+\frac{a(a+1)(a+2)}{3!}z^3+\cdots = \,_1F_0(a;z)\)
  • 위 식의 우변에 대해서는 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-급수

 

 

비슷한 표현의 유도
  • 미적분학의 이항정리
    \(\frac{1}{(1-z)^{a}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n\)
  • 오른쪽 급수의 q-analogue
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^{\alpha};q)_n}{(q;q)_n}z^n\)

 

 

q-이항정리
  • (정리)
    \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^n_q}{(1-q)^n_q}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)

 



오일러곱과 가
  • 이항정리로부터 q-초기하급수(q-hypergeometric series)의 오일러곱을 얻을 수 있다
    \(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
    \(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

 

 

 
  • 가우스 다항식 q-이항계수
    \(\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)
    (증명)
    q-이항정리에 \(a=q^{-N}\), \(z\to zq^{N}\) 를 사용 ■
     
    \(\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)

 

 

 

 

 

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