Q-이항정리

이항정리의 q-analogue로 q-이항계수(가우스 다항식)를 다룬다
q-이항정리
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^n_q}{(1-q)^n_q}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)
Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 참조
하이네(Heine)의 정리라 불리기도 함
q-초기하급수(q-hypergeometric series) 을 사용한 표현
\(_{1}\phi_0 \left[\begin{matrix} a \\ - \end{matrix} ; q,z \right]\)\(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a;q)_n} {(q;q)_n} z^n\)
초기하급수의 오일러곱과 이항계수(가우스 다항식)에 대한 정리를 특별한 경우로 가진다

이항계수와 조합
\((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
이항정리
\((1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} {\alpha \choose k} x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 +\cdots\)

\(\frac{1}{(1-z)^{a}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=1+az+\frac{a(a+1)}{2!}z^2+\frac{a(a+1)(a+2)}{3!}z^3+\cdots = \,_1F_0(a;z)\)
위 식의 우변에 대해서는 초기하급수(Hypergeometric series)와 q-급수

(정리)
\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^n_q}{(1-q)^n_q}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)

위의 q-이항정리로부터 q-초기하급수(q-hypergeometric series)의 오일러곱을 얻을 수 있다
\((-z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
\(\frac{1}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
가우스 공식
\((-z;q)_{n}=\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} \begin{bmatrix} n\\ r\end{bmatrix}_{q}q^{r(r-1)/2}z^r\)
(증명)
q-이항정리에 \(a=q^{-N}\), \(z\to zq^{N}\) 를 사용 ■
하이네 공식
\(\prod_{r=0}^{n-1}\frac{1}{1-zq^r}=\sum_{r=0}^{\infty} \begin{bmatrix} n+r-1\\ r\end{bmatrix}_{q} z^r\)
하이네 공식은 중복조합의 공식 H(n,r) =C(n+r-1,r) 에 있는 다음 식의 q-analogue이다
\(\frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}\textstyle\left\langle{n\atop k}\right\rangle x^k\)

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