클라인의 4차곡선

개요

• 종수(genus)가 3인 복소대수곡선
  • \(\mathbb CP^2\) 에서 \(x^3y+y^3z+z^3x=0\) 로 주어진 (복소) 대수곡선
  • 푸앵카레 상반평면을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면\[\mathbb H^2/\Gamma(7)\]\[\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}\]
• 쌍곡기하학 세계의 플라톤 다면체(Platonic solid), 즉 정다면체
  • 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
  • 자기동형군, 즉 대칭군은 \(\operatorname{PSL}(2,\mathbb{F}_ 7)\)와 동형임.
  • 168가지의 대칭을 가짐

자기동형군

• \(x^3y+y^3z+z^3x=0\)
• order 3 x-> y-> z-> x
• order 7 x->ax, y->by, z->cz for some a,b,c we want \(a^3b=b^3c=c^3a\) solution \[ a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1\] where \(\zeta^7=1\)

PSL(2,7)

• PSL(2,7) (isomorphic PSL(3,2)) has order 168
• GL(2,7) has order (7^2-1)(7^2-7)
• SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
• PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2
• 크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1) a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 모듈라 군(modular group) 의 원소)\[S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \], \(T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 \( \mathbb{C}[x,y,z]\)에 작용한다.

any polynomial invariant under PSL(2,7) also invariant under subgroup of order 21.

(generated by order 3 transformation x-> y-> z-> x and order 7 transformation x->ax, y->by, z->cz where a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1 where \zeta^7=1)

Not many invariant elements of degree 4.

Only monomials of degree 4 invariant under elements of order 7 are x^3y,y^3z,z^3x.

If in addition we require invariance under x->y->z-> x, only possibility is constant \times (x^3y+y^3z+z^3x).

If any Hurwitz group acts on a curve, then PSL(2,7) acts on x^3y+y^3z+z^3x=0

(2,3,7) 삼각형

• 삼각형의 세 각이 각각\[\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\] 로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,\[\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\] 가 되어, 180도보다 작게 된다.
• 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.
• 쌍곡기하학 항목 참조

전개도

세타함수

• 세타함수\[\theta_{7,1}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+1)^2}{56}}=q^{1/56}(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\]\[\theta_{7,3}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+3)^2}{56}}=q^{9/56}(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\]\[\theta_{7,5}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+5)^2}{56}}=q^{25/56}(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\]
• 세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다\[x=\theta_{7,1}\],\(y=-\theta_{7,5}\)\(z=\theta_{7,3}\)\[x^3y+y^3z+z^3x=0\]\[xyz=-\eta(\tau)\eta(7\tau)^2\]

조각

메모

• http://www.youtube.com/watch?v=-FB045lx05M
• http://www.ams.org/notices/201007/rtx100700840p.pdf
• A5 다음으로 크기가 작은 비가환 유한단순군이다. 168은 7\[Times]24, 일주일에 담긴 시간의 수
• 쌍곡기하학의 정다면체로 이해할 수 있음.
  • 정칠각형 24조각
• Magnetic Klein Quartic
• http://www.math.uic.edu/~agol/conglink.pdf

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYjA0YzMzNTYtYzc2Ny00NGE2LWIzY2QtMWU1MTJiODYwM2Y3&sort=name&layout=list&num=50

관련된 항목들

• 컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리
• 2차원 쌍곡기하학의 테셀레이션
• 반전 사상(inversion)

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Klein_quartic

관련도서

• The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve
  • Edited by Silvio Levy

관련논문

• Braden, H. W., and T. P. Northover. 2009. “Klein’s Curve”. ArXiv e-print 0905.4202. http://arxiv.org/abs/0905.4202.
• Ramanujan modular forms and the Klein quartic
  • G. Lachaud, Mosc. Math. J., 5:4 (2005), 829\[Dash]856
• Shimura curve computations
  • Noam Elkies, "Algorithmic Number Theory: 3rd International Symposium, ANTS-III; Portland, OR, 6/98: Proceedings", J.P.Buhler, ed.; Lecture Notes in Computer Science, Vol .1423, pages 1-47, 2000
• On the Order-Seven Transformation of Elliptic Functions
  • Felix Klein (translated by Silvio Levy)
• A Hyperbolic Plane Coloring and the Simple Group of Order 168
  • Dana Mackenzie, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 8 (Oct., 1995), pp. 706-715
• 2002_ 447_ 473_KING.pdf Riemann surfaces as descriptors for symmetrical negative curvature carbon and boron nitride structures
  • KING R. Bruce, Croatica chemica acta, 2002, vol. 75, no2, pp. 447-473

블로그

• 유한단순군 시간을 말하다, 피타고라스의 창