타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 7월 6일 (토) 05:58 판
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개요

  • j-invariant
    • 클라인의 absolute j-invariant 라는 이름으로 불리기도 함
  • 타원 모듈라 함수(elliptic modular function) 로 불리기도 함
  • 복소 이차 수체의 class field 이론에서 중요한 역할
  • 몬스터 군의 monstrous moonshine에 등장



정의

  • 다음과 같이 정의된다

\[ \begin{align} j(\tau) &= {E_ 4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=\frac{(1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n)^3}{q-24q+252q^2+\cdots} \\ & =q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots \\ & =\sum_{n=-1}c_n q^n \end{align} \] 여기서 \(q=e^{2\pi i\tau},\tau\in \mathbb{H}\) \[ E_ 4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots\]는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) \[\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3\] \[\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots\] 는 판별식 함수

  • 다음과 같이 쓰기도 한다

\[j(\tau)=1728\frac{g_ 2^3}{g_ 2^3-27g_ 3^2}\] 여기서 $g_2,g_3$는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series), 바이어슈트라스 타원함수 ℘ 항목 참조


singular moduli




푸리에계수

  • 1, 744, 196884, 21493760, 864299970, 20245856256, 333202640600, 4252023300096, 44656994071935, 401490886656000, 3176440229784420, 22567393309593600, 146211911499519294, 874313719685775360, 4872010111798142520, 25497827389410525184
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000521
  • 근사식 [Rademacher1938]

\[c(n)=\frac{2\pi}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}{k}I_{1}(\frac{4\pi\sqrt{n}}{k})\] 여기서 \(I_ 1\) 은 베셀 함수, \[A_k(n)=\sum_{0 \leq h < k,(h,k)=1}e^{-2\pi i (nh+h')/k }\] 이 때, \(hh'\equiv -1 \mod k\). $A_k(n)$은 클루스터만 합의 특수한 경우

  • 점근 급수

$$ c(n)\sim \frac{e^{4\pi \sqrt{n}}}{\sqrt{2}n^{3/4}}\left(1-\frac{3}{32\pi\sqrt{n}}+O(n)\right) $$


슈나이더의 정리

  • 복소상반평면의 대수적 수 \(\tau\in \mathbb{H} \cap \bar{\mathbb{Q}}\)에 대하여, \(\tau\)가 2차(imaginary quadratic)가 아니면, \(j(\tau)\)는 초월수이다.



무한곱

$$ j(p)-j(q)= \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c(nm)} $$


메모



관련된 항목들



사전형태의 자료



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