정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)

개요

정수계수 다항식 f(x)가 주어져 있을 때, f(x) mod p 를 생각한다.
이 때, 어느 소수 p에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 p가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
이러한 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 근본적인 질문들

'상호법칙'이란

이차잉여의 상호법칙 에서 가져옴
문제 : 정수계수 다항식 $f(x)$를 $\pmod p$로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
인수분해되는 방식에 따라서 소수 $p$가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
$f(x)=x^2-5$라면, 홀수인 소수 $p$에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
- $p\equiv 1,4 \pmod 5$ 인 경우, $f (x) \pmod p$ 는 두 개의 일차식으로 분해됨
- $p\equiv 2,3 \pmod 5$ 인 경우, $f (x) \pmod p$ 는 분해되지 않음

이차잉여의 상호법칙

정수 계수 이차 다항식 $x^2-a$ 의 문제
$x^2-a\pmod p$ 가 $p$ 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
자세한 사항은 이차잉여의 상호법칙 에서 다루기로 함.
이차수체

원분다항식의 상호법칙

상호법칙의 질문에 따라 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
$\Phi_n(x) \pmod p$ 가 어떤 소수 $p$ 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제

(정리)

$p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$의 order가 $r$이라 하자. 즉 r이 $p^r=1\pmod n$ 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 $\Phi_n(x) \pmod p$ 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 $\Phi_n(x) \pmod p$의 분해는, $p\pmod n$에 의해 결정된다.

(증명)

원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 $\Phi_n(x)=f_ 1f_ 2\cdot f_l \pmod p$ 를 얻고, $f_ 1$의 차수가 s라고 하자.

$\mathbb{F}_p$의 적당한 체확장에서 기약다항식 $f_ 1$의 근 $\alpha$ 를 찾자. 그러면, $\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}$ 을 얻는다.

$f_ 1(\alpha)=0$ 이므로, $\Phi_n(\alpha)=0$이고, 따라서 $\alpha^n=1$ 이다.

유한체 $\mathbb F_{p^s}$ 는 방정식 $x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)$ 의 근으로 구성되므로, $n|{p^s-1}$ 을 얻는다.

그러므로, $s\geq r$ 이다.

이제 $s\leq r$ 임을 보이자. r의 정의로부터, $n | p^r-1$ 임을 안다.

따라서 $\alpha^{p^r-1}=1$ 즉 $\alpha^{p^r}=\alpha$ 가 된다. 이는 $\alpha\in \mathbb F_{p^r}$ 임을 의미한다.

$\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}$ 이므로, $s\leq r$ 이다.

따라서 $r=s$ 임이 증명된다. ■

(따름정리)

$n | (p-1)$ $\iff$ $\Phi_n(x) \pmod p$는 일차식들로 분해된다

(증명)

위의 정리에서 $r=1$인 경우에 해당한다 \[FilledSquare]

다른 예

$x^3-x+1 \pmod p$ 가 일차식으로 분해 $\iff$ $x^2+27y^2=p$ 의 정수해가 존재
다항식 x^3-x+1 항목 참조
$x^3-2 \pmod p$가 일차식으로 분해될 조건은 $x^2+27y^2=p$의 정수해와 관련
이차형식 x^2+27y^2 항목 참조

디리클레 정리와 원분다항식의 상호법칙

$n | (p-1)$ 이면, $\Phi_n(x) \pmod p$는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 $\text{Frob}_p$ 가 체확장 $\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)$의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.

프로베니우스의 density 정리에 의하면, $\text{Frob}_p$가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 $p\equiv 1 \pmod n$ 가 증명된다.

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 항목도 참조.

프로베니우스의 밀도 정리

프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리에서 다룸

체보타레프 밀도 정리

일반적인 수체

원분체의 arithmetic

Kronecker-Weber theorem and Ray class field
이차잉여의 상호법칙
디리클레 정리
가우스합

메모

http://math.columbia.edu/~pugin/Teaching/USemBlog_files/CycloRed.pdf

정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)

목차

개요

'상호법칙'이란

이차잉여의 상호법칙

원분다항식의 상호법칙

다른 예

디리클레 정리와 원분다항식의 상호법칙

프로베니우스의 밀도 정리

체보타레프 밀도 정리

원분체의 arithmetic

메모

관련된 항목들

사전 형태의 자료

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