Q-지수함수

수학노트
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개요

  • 지수함수 의 q-analogue
  • 지수함수의 멱급수 표현
    \(e^{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\)
  • q-팩토리얼 은 다음과 같이 주어진다
    \([n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}\)
  • q-analogue 를 얻는다
    \(e_q(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!}\)
  • 또다른 q-analogue
    \(E_q(z) = \;_{1}\phi_0 (0;q,z) = \prod_{n=0}^\infty \frac {1}{1-zq^n}\)
    \(e_q(z) = E_q(z(1-q))\)
  • 본질적으로는 양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm) 이다




오일러곱

  • q-이항정리
    \(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
    \(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)



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