사인 1도의 값 구하기
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개요
- 사인 1도의 값을 구하는 것은 천문학의 역사에서 중요한 문제
- 삼각함수 표의 작성에 중요
- 사인 1도
$$ \sin 1^{\circ}=0.0174524064372835128194189785\cdots $$
근호를 이용한 표현
- 사인 3도의 값을 안다고 가정 (이는 $\sin 75^{\circ}$와 $\sin 72^{\circ}$의 값으로부터 얻을 수 있다)
$$ \sin 3^{\circ}=\frac{1}{4}\sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}} $$
- 삼각함수의 배각공식을 이용하자
\[\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta\]
- $a=\sin 3^{\circ}$, $x=\sin 1^{\circ}$로 두면, 다음이 성립한다
$$ a=3x-4x^3 $$
- 다음을 얻는다
$$ x=\frac{1}{2} \left( \omega A+\frac{1}{\omega A} \right) $$ 여기서 $$ A=\left(-a+\sqrt{-1+a^2}\right)^{1/3}=\left(-\frac{1}{4} \sqrt{8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}+\sqrt{-1+\frac{1}{16} \left(8-\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{10-2 \sqrt{5}}\right)}\right)^{1/3}\approx 0.857167+ 0.515038 i $$ $$ \omega=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2} $$
메모
- http://www.efnet-math.org/Meta/sine1.htm
- http://www.intmath.com/blog/how-do-you-find-exact-values-for-the-sine-of-all-angles/6212
- http://math.la.asu.edu/~surgent/mat170/Exact_Trig_Values.pdf