디리클레 L-함수의 미분

리만제타함수

• 리만제타함수는 다음을 만족한다

\[\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\]

디리클레 L-함수의 미분

• \(d_K\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(K\)에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴\[L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\]

예

• 수체 \(K=\mathbb{Q}(i)\)에 대하여 다음이 성립한다

\[\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\] 여기서 $\beta$는 디리클레 베타함수

• 수체 \(K=\mathbb{Q}(\omega)\), \(\omega^2+\omega+1=0\)에 대하여 다음이 성립한다

\[L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})\]

관련된 항목들

• Chowla-셀베르그 공식
• Birch and Swinnerton-Dyer 추측