동차다항식(Homogeneous polynomial)
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2014년 1월 20일 (월) 08:35 판
개요
- 변수의 개수가 $n$이고, 차수가 $d$인 동차다항식이 이루는 벡터공간의 차원은 $_n H_d= {n+d-1\choose d}$이다
- 중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)
예
- $n=3$이고 차수 $d=4$인 동차다항식이 이루는 15차원 벡터공간의 기저
$$ \left\{x_1^4,x_1^3 x_2,x_1^2 x_2^2,x_1 x_2^3,x_2^4,x_1^3 x_3,x_1^2 x_2 x_3,x_1 x_2^2 x_3,x_2^3 x_3,x_1^2 x_3^2,x_1 x_2 x_3^2,x_2^2 x_3^2,x_1 x_3^3,x_2 x_3^3,x_3^4\right\} $$
오일러 항등식
- 차수가 $d$인 $n$변수 동차다항식 $f$에 대하여, 다음이 성립한다
\[\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}=d f\]
- 예를 들어 차수가 $d$인 3변수 동차다항식 $f$에 대하여, 다음이 성립한다
\[x \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+z \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=d f(x,y,z)\]
조화다항식
- \(P^{(d)}\subseteq \mathbb{R}[x_1,\cdots, x_n]\) 차수가 $d$인 동차다항식이 이루는 벡터공간
- 라플라시안(Laplacian) \(\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}\)를 다음과 같이 정의
\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]
- \(H^{(d)}:=\ker \Delta \)의 원소를 $d$차 조화다항식이라 한다
- 조화다항식(harmonic polynomial) 항목 참조
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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