피보나치 수열

개요

점화식을 이용한 정의
- $F_0=1,F_1=1$
- $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$
인접한 두 수열의 비는 황금비로 수렴

\[\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\]

루카스 수열의 예이다

피보나치 수열의 일반항

생성함수를 이용한 방법

정리

피보나치 수열의 생성함수는 다음과 같이 주어진다 \[s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=\frac{1}{1-x-x^2}\]

증명

점화식을 이용하여 다음을 얻는다 \[\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= 1+ x + x(\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k-1) + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= 1+ x s(x) + x^2 s(x) \end{align}\]

이제 $s(x)$를 부분분수로 분해하여 쓰면, 피보나치수열의 일반항을 얻을 수 있다. \[ F(n) = \frac{\left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}}{\sqrt{5}} \]

여러가지 성질들

$F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}$
위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1\]\[\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi\]