몰리엔 정리 (Molien's theorem)

개요

• 행렬로 표현된 유한군의 불변다항식에 대한 정리

몰리엔 정리

• 기호
  • $G$ : 유한행렬군
  • $a_d$ : 차수가 $d$인 $G$의 동차불변다항식의 공간이 이루는 차원
  • $\Phi(\lambda)=\sum_{d=0}^\infty a_d\lambda^d$ : $a_d$의 생성함수

정리 (몰리엔)

다음이 성립한다 $$ \Phi(\lambda)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{\det(I-\lambda g)} $$

예

• 아래의 두 행렬로 생성되는 군은 크기가 16인 정이면체군 (dihedral group)이다

$$ \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right) $$

• 다음을 얻는다

$$ \Phi(\lambda)=\frac{1}{(\lambda -1)^2 (\lambda +1)^2 \left(\lambda ^2+1\right) \left(\lambda ^4+1\right)} $$

• 이 불변다항식은 맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity)에 등장하기도 한다