콕세터 원소(Coxeter element)

개요

• 유한 콕세터 군의 특별한 원소들
• 하나의 conjugacy class를 이룬다
• 원소의 order는 Coxeter number가 된다
• quiver의 표현론 등에서 중요한 역할

 

정의

• 유한 콕세터 군이 다음과 같이 주어진 경우\[\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid r_1^2=\cdots=r_n^2=(r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle\]
  
• 임의의 치환 \(\pi\in S_{n}\) 에 대하여, 콕세터 군의 원소 \(r_{\pi(1)}r_{\pi(2)}\cdots r_{\pi(n)}\)를 콕세터 원소라 한다

 

예

대칭군의 콕세터 원소

• 대칭군 (symmetric group)

 

정이면체군의 콕세터 원소

• 정이면체군(dihedral group)

 

역사

• 1951년 콕세터
• 수학사 연표

 

메모

• Reiner, Victor, Vivien Ripoll, and Christian Stump. “On Non-Conjugate Coxeter Elements in Well-Generated Reflection Groups.” arXiv:1404.5522 [math], April 22, 2014. http://arxiv.org/abs/1404.5522.
• The spectrum of a Coxeter transformation, affine Coxeter transformations, and the defect map
• http://www.math.lsa.umich.edu/~jrs/coxplane.html
• http://www-igm.univ-mlv.fr/~fpsac/FPSAC07/SITE07/Lecture/July3/Nathan%20Reading.pdf
• Coxeter transformations and the representation theory of algebras

관련된 항목들

• 유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRFNnVmZydjVOQms/edit

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Coxeter_plane#Coxeter_plane

리뷰, 에세이, 강의노트

• Bill Casselman, The magical Coxeter transformation Sep 2011

 

관련논문

• Suter, Ruedi. “Coxeter and Dual Coxeter Numbers.” Communications in Algebra 26, no. 1 (1998): 147–53. doi:10.1080/00927879808826122.
• The product of the generators of a finite group generated by reflections, HSM Coxeter - Duke Mathematical Journal, 1951