콕세터 군의 차수와 지수 (degrees and exponents)

개요

지수는 콕세터 원소의 고유값에서 등장
차수는 불변량이론에서 등장

지수(exponent)

$h$ : 콕세터 수
콕세터 원소의 고유값은 언제나 적당한 정수 $m_i$와 크기 $h$의 원시단위근 $\zeta$에 대하여 $\zeta^{m_i}$ 꼴로 쓰여진다.
정수 $m_i$, $1\leq m_i\leq h-1$를 콕세터 군의 지수라 부른다
지수를 $m_1\le \cdots \le m_r$이라 두면, $m_i+m_{r-i+1}=h$이 성립하고, 여기서 $r$은 rank
카르탄 행렬의 고유값은 $4\sin^2(m_{i}\pi/2h)$
인접행렬(adjacency matrix)의 고유값은 $2\cos(\pi m_i/h)$

예

$A_4$의 콕세터 수는 5
카트탄 행렬

\[\left( \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right)\]

딘킨 다이어그램의 인접행렬은

\[\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\]

인접행렬의 고유값

\[\left\{\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{5}\right),\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right),\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right),\frac{1}{2} \left(-1+\sqrt{5}\right)\right\}\]

예

$E_8$의 경우, 콕세터원소의 특성다항식은 다음과 같다

$$ x^8+x^7-x^5-x^4-x^3+x+1 $$ 이는 원분다항식(cyclotomic polynomial) $\Phi_{30}(x)$으로 $$ \Phi_n(x) =\prod_{1\le k\le n,\gcd(k,n)=1}\left(x-e^{2i\pi\frac{k}{n}}\right). $$

해는 $\left\{\zeta ,\zeta ^7,\zeta ^{11},\zeta ^{13},\zeta ^{17},\zeta ^{19},\zeta ^{23},\zeta ^{29}\right\}$로 주어지며, 여기서 $\zeta$는 크기 30인 원시단위근

성질

정리 (Kostant, 1959)

콕세터 군의 지수를 $m_1\le \cdots\le m_n$, 차수를 $k_1\le \cdots\le k_n$라 하자. 그러면 $$ m_i=k_i-1. $$ 이고 다음이 성립한다 $$ \sum_{}m_i=\sum_{}(k_i-1)=\frac{nh}{2}=|\Phi^{+}| $$

이는 콕세터의 추측

homological algebraic characterization

For a semisimple. Lie algebra L
$H^{\bullet}(L)$ is a free super-commutative algebra with homogeneous generator in degrees $2m_1+1,\cdots,2m_l+1$

memo

http://mathoverflow.net/questions/143548/uniform-proof-that-a-finite-reflection-group-is-determined-by-its-degrees

역사

193? 콕세터
Kostant, Steinberg, Chevalley, Coleman

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매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTFpCRWVjZTJrS00/edit

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Coxeter_number