타원곡선의 L-함수

개요

• http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt06.htm#intro
• 하세-베유 (Hasse-Weil) 제타함수라고도 함
• 타원 곡선 E의 conductor가 N일 때, 다음과 같이 정의됨

\[L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}\] 여기서 \[L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll} (1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{if }p\nmid N \\ (1-a_pp^{-s}), & \mbox{if }p||N \\ 1, & \mbox{if }p^2|N \end{array}\right.\]

• 여기서 \(a_p\)는 유한체위에서의 해의 개수와 관련된 정수로 \(a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)\) (위의 Hasse-Weil 정리)
• Birch and Swinnerton-Dyer 추측 항목 참조

관련된 항목들

• 타니야마-시무라 추측(정리)
• 버치와 스위너톤-다이어 추측

리뷰, 에세이, 강의노트

• Benedict H. Gross, The arithmetic of elliptic curves—An update