Spin(3)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 12월 3일 (토) 04:06 판
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개요
  • 리 군(Lie group)의 하나
  • SO(3) 의 double cover 로 Spin(3) 
  • 2차원 스피너 공간은 SU(2) 의 representation

 

 

스핀
  • 양자역학적 시스템의 간단한 예
  • 스핀
    • 각운동량의 양자화
    •  \(SU(2)\)의 표현론
    • half of highest weight is called the spin of the module
      • Casimir operator can also detect this number.
    • spin \(1/2\) is the most important case since they are the matter particles
    • this is why we have half-integral spin although those representations have integral highest weights
  • 파울리 행렬 (해밀턴의 사원수 참조)
    \(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)
    \(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)
    \(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)
  • raising and lowering 연산자
    \(\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\)
    \(\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
    \(\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
    \([\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\)

 

 

sl(2)
  • 3차원 리대수
    \(E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
    \(F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
    \(H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)
  • commutator
    \([E,F]=H\)
    \([H,E]=2E\)
    \([H,F]=-2F\)

 

 

 

역사

 

 

 

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