Spin(3)

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개요

3차원 리 군(Lie group)의 하나
SO(3) 의 double cover
unitary unimodular group SU(2)와 동형
2차원 스피너 공간은 Spin(3)의 representation

정의

\(SU (2) = \left \{ \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}: \ \ \alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\right \}\)

SU(2) 의 표현론 http://math.berkeley.edu/~teleman/math/RepThry.pdf

스핀

양자역학적 시스템의 간단한 예
스핀과 파울리의 배타원리 항목 참조
파울리 행렬 (해밀턴의 사원수 참조)
\(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)
\(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)
\(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)
raising and lowering 연산자
\(\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\)
\(\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
\(\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
\([\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\)

sl(2)

3차원 리대수
\(E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
\(F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
\(H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)
commutator
\([E,F]=H\)
\([H,E]=2E\)
\([H,F]=-2F\)

Spin(3)

목차

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스핀

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