고전 케플러-쿨롱 시스템
개요
- 행성운동을 기술하는 해밀토니안 시스템
- 고전역학에서의 적분가능 모형의 예
- $\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3), \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3)$
- 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다
$$ H_0(\mathbf{q},\mathbf{p})=\frac{1}{2}p^2-\frac{1}{q}=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}} $$ 여기서 $p=|\mathbf{p}|,q=|\mathbf{q}|$
- 보존량
$$ \begin{aligned} H_0 &=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}} \\ \mathbf{G}&=\mathbf{q}\times \mathbf{p}=(p_3 q_2-p_2 q_3,p_1 q_3-p_3 q_1,p_2 q_1-p_1 q_2) \\ \mathbf{E}&=\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q}\\ &=(p_2^2 q_1-p_1 p_2 q_2+p_3^2 q_1-p_1 p_3 q_3-\frac{q_1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_2-p_2 p_1 q_1+p_3^2 q_2-p_2 p_3 q_3-\frac{q_2}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_3-p_3 p_1 q_1-p_2 p_3 q_2+p_2^2 q_3-\frac{q_3}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}) \end{aligned} $$
- 보존량 사이에 다음의 관계가 성립한다
$$ \mathbf{G}\cdot\mathbf{E}=0 \\ E^2-1=2H_0G^2 $$
메모
- $\vec{A} = \left(p \times L\right) - m k\cdot \frac{\mathbf{r}}{r}$
- http://physics.stackexchange.com/questions/tagged/runge-lenz-vector
- http://analyticphysics.com/Runge%20Vector/The%20Symmetry%20Corresponding%20to%20the%20Runge%20Vector.htm
매스매티카 파일 및 계산 리소스
리뷰, 에세이, 강의노트
- The symmetries of the Kepler problem
- Cordani, Bruno. ‘The Kepler Problem’. In Geography of Order and Chaos in Mechanics, 175–209. Progress in Mathematical Physics 64. Springer New York, 2013. http://link.springer.com.ezproxy.library.uq.edu.au/chapter/10.1007/978-0-8176-8370-2_6.