반직접곱 (semidirect product)

개요

• 주어진 두 군으로부터 새로운 군을 얻는 방법의 하나
• 두 군 $N$, $H$와 준동형사상 \(\varphi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)\)이 주어져 있을 때, 집합 \(N\times H\)에 다음과 같이 연산을 정의하자

$$ (n_1,h_1)\cdot(n_2,h_2)=(n_1\varphi(h_1)(n_2),h_1h_2) $$

• 이 연산은 $N\times H$에 군의 구조를 준다
  • 항등원은 $(1,1)$
  • $(n,h)$의 역원은 $(\varphi(h^{-1})(n^{-1}),h^{-1})$
• 이렇게 얻어진 군을 $N \rtimes H$로 나타낸다

예

정이면체군

• 정이면체군 (dihedral group) \(D_n\)의 생성원과 관계식은 다음과 같다

\[\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle\]

• 크기가 $n$인 순환군 $C_{n}$과 $\mathbb{Z}_{2}=\{\pm 1\}$
• 준동형사상 $\varphi\colon \mathbb{Z}_{2} \to\operatorname{Aut}(C_n)$를 $\varphi(1)(g)=g,\, \varphi(-1)(g)=g^{-1}$로 정의하자
• \(D_{n}= C_{n} \rtimes \mathbb{Z}_{2}\) 로 쓸 수 있다

푸앵카레 군

• 로렌츠 변환과 로렌츠 군
• 로렌츠군 $SO(3,1)$은 $\mathbb{R}^{3,1}$에 작용한다
• 반직접곱 $\mathbb{R}^{3,1}\rtimes SO(3,1)$을 푸앵카레 군이라 부른다
• 푸앵카레 군의 원소 $(a,\Lambda)$는 로렌츠군의 원소 $\Lambda : \mathbb{R}^{3,1}\to \mathbb{R}^{3,1}$와 벡터 $a\in \mathbb{R}^{3,1}$에 의해 주어진다

사전 형태의 자료

• https://ko.wikipedia.org/wiki/반직접곱