함수 다이로그 항등식(functional dilogarithm identity)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2014년 10월 31일 (금) 07:26 판 (→‎14항 관계식)
둘러보기로 가기 검색하러 가기

개요

  • 로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)가 만족시키는 두 함수 항등식의 일반화

\[L(x)+L(1-xy)+L(y)+L\left(\frac{1-y}{1-xy}\right)+L\left(\frac{1-x}{1-xy} \right)=3L(1)\]

  • 클러스터 대수(cluster algebra) 를 이용하여 일반화됨
  • 가령 $A_n$ 딘킨 다이어그램으로부터, n 변수로 구성된 \((n^2+3n)/2\) 항 관계식을 찾을 수 있음
  • $2, 5, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54, 65,\cdots$


2항 관계식

  • \(S=\left\{x,\frac{1}{x}\right\}\)라 두면,

\[\sum_{a\in S}L(\frac{1}{1+a})=L\left(\frac{1}{\frac{1}{x}+1}\right)+L\left(\frac{1}{x+1}\right)=L(1)\]



5항 관계식

  • \(S=\left\{x,y,\frac{x+1}{y},\frac{y+1}{x},\frac{x+y+1}{x y}\right\}\) 이면,

\[\sum_{a\in S}L(\frac{1}{1+a})=L\left(\frac{1}{\frac{x+1}{y}+1}\right)+L\left(\frac{1}{\frac{y+1}{x}+1}\right)+L\left(\frac{1}{\frac{x+y+1}{x y}+1}\right)+L\left(\frac{1}{x+1}\right)+L\left(\frac{1}{y+1}\right)=2L(1)\]


9항 관계식

  • $S$를 다음과 같이 두자

\[ S=\left\{x,y,z,\frac{(x+1) (z+1)}{y},\frac{(x+y+1) (y+z+1)}{x y z},\\ \frac{x z+x+y+z+1}{x y},\frac{x z+x+y+z+1}{y z},\frac{y+1}{x},\frac{y+1}{z}\right\}\]

  • 다이로그 함수에 대하여 다음이 성립한다

\[\sum_{a\in S}L(\frac{1}{1+a})=3L(1)\]


14항 관계식

\[ \left\{x,z,\frac{(x+1) (z+1)}{y},\frac{z+1}{w},\frac{x z+x+y+z+1}{x y}, \frac{(w+z+1) (x z+x+y+z+1)}{w y z}\\,\frac{(y+z+1) (w (x+y+1)+x z+x+y+z+1)}{w x y z}, \frac{w (x+y+1)+x z+x+y+z+1}{y z},\\ \frac{w y+w+y+z+1}{w z},\frac{(x+y+1) (w y+w+y+z+1)}{x y z}, \frac{(w+1) (y+1)}{z},\frac{y+1}{x},w,y\right\} \] \[\sum_{a\in S}L(\frac{1}{1+a})=4L(1)\]


메모

역사



매스매티카 파일 및 계산 리소스



관련논문

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=함수_다이로그_항등식(functional_dilogarithm_identity)&oldid=30689"