케플러의 법칙, 행성운동과 타원
케플러의 법칙
- 행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 돌고 있다
- 태양과 행성을 연결하는 직선은 같은 시간에 같은 면적을 쓸고 지나간다
- 행성운동의 공전주기의 제곱은 타원 궤도의 장축의 길이의 세제곱에 비례한다
제1법칙
- 장축의 길이가 $2a$, 단축의 길이가 $2b$인 타원의 이심률 $e$는 다음과 같이 정의된다
\[e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\]
- 태양을 원점에 두었을 때, 행성의 극좌표 $(r,\theta)$는 다음을 만족한다
\[r(\theta)=\frac{a(1-e^2)}{1+e \cos(\theta)}\]
제2법칙
- 등면적 법칙
케플러 방정식
- \(M=E-e \sin E\)
- $e$ : eccentricity
- $M$ : mean anomaly
- $E$ : eccentric anomaly
- http://www.scilogs.eu/en/blog/spacetimedreamer/2009-06-24/the-kepler-equation
- http://www.jgiesen.de/kepler/kepler.html
뉴턴 법칙으로부터의 유도
- \(a_r=\ddot{r} - r\dot{\theta}^2=k/r^2\)
- \(a_\theta=r\ddot{\theta} + 2\dot{r} \dot{\theta}=0\)
- 두번째 식으로부터 $r^2 \dot{\theta}$가 상수임을 알 수 있다. 이로부터 케플러의 제2법칙을 얻는다
메모
- Newton on Abelian functions
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler's_Equation
- http://en.wikipedia.org/wiki/Eccentric_anomaly
- http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_anomaly
리뷰, 에세이, 강의노트
- Hsiang, Wu-Yi, and Eldar Straume. “Revisiting the Mathematical Synthesis of the Laws of Kepler and Galileo Leading to Newton’s Law of Universal Gravitation.” arXiv:1408.6758 [math], August 28, 2014. http://arxiv.org/abs/1408.6758.
- Colwell, Peter. 1992. Bessel Functions and Kepler's Equation. The American Mathematical Monthly 99, no. 1 (January 1): 45-48. doi:10.2307/2324547.
- Wilson, Curtis. 1994. Newton's Orbit Problem: A Historian's Response. The College Mathematics Journal 25, no. 3 (May 1): 193-200. doi:10.2307/2687647.
- Haandel, Maris, and Gert Heckman. 2009. Teaching the Kepler Laws for Freshmen. The Mathematical Intelligencer 31, no. 2 (3): 40-44. doi:10.1007/s00283-008-9022-x.
- Osler, Thomas J. “An Unusual Approach to Kepler’s First Law.” American Journal of Physics 69, no. 10 (October 1, 2001): 1036–38. doi:10.1119/1.1379735. http://www.rowan.edu/colleges/las/departments/math/facultystaff/osler/ELLIPSE2.pdf
- Central Force Laws, Hodographs, and Polar Reciprocals, Don Chakerian, Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 1 (Feb., 2001), pp. 3-18
- Computation of Planetary Orbits, Donald A. Teets and Karen Whitehead, The College Mathematics Journal, Vol. 29, No. 5 (Nov., 1998), pp. 397-404
- How Kepler Discovered the Elliptical Orbit, Eric J. Aiton, The Mathematical Gazette, Vol. 59, No. 410 (Dec., 1975), pp. 250-260
관련도서
- Colwell, Peter. Solving Kepler’s Equation over Three Centuries. Willmann-Bell, 1993. http://www.willbell.com/math/mc12.htm