가우스-쿠즈민 분포

개요

• 실수 $\alpha\in (0,1)$의 단순연분수 전개에서 나타나는 수의 분포에 대한 결과

가우스-쿠즈민 분포

기호

• 연분수 전개 $\alpha=[a_0;a_1,a_2,\cdots,]$, $a_0=0$, $a_n\in \mathbb{Z}_{>0}$
• $n\geq 0$에 대하여 $\alpha_n$을 $\alpha=[a_0;a_1,a_2,\cdots, a_{n-1},\alpha_{n}]$를 만족하도록 정의하자
• $x_n(\alpha)=\alpha_n-a_n=\alpha_n-\left \lfloor{\alpha_n}\right \rfloor =\{\alpha_n\}$ 여기서 $\{\cdot\}$는 분수 부분
• $\mu_n(x)=\ell(\{\alpha:x_n(\alpha)<x\})$ 여기서 $\ell$는 $\mathbb{R}$의 르벡 측도

정리 (가우스,쿠즈민, 레비)

적당한 상수 $C>0,\lambda>0$에 대하여, 다음이 성립한다 $$ |\mu_n(x)-\log_2 (1+x)|<Ce^{-\lambda n} $$