가우스-쿠즈민 분포

개요

• 실수 $\alpha\in (0,1)$의 단순연분수 전개에서 나타나는 수의 분포에 대한 결과

가우스-쿠즈민 분포

기호

• 연분수 전개 $\alpha=[a_0;a_1,a_2,\cdots,]$, $a_0=0$, $a_n\in \mathbb{Z}_{>0}$
• $n\geq 0$에 대하여 $\alpha_n$을 $\alpha=[a_0;a_1,a_2,\cdots, a_{n-1},\alpha_{n}]$를 만족하도록 정의하자
• $\alpha_n$의 분수부분 $x_n(\alpha),\, 0\leq x_n(\alpha)< 1$을 생각하자, 즉

$$x_n(\alpha)=\alpha_n-a_n$$

• $\mu_n(x)=\ell(\{\alpha:x_n(\alpha)<x\})$ 여기서 $\ell$는 $\mathbb{R}$의 르벡 측도

정리 (가우스,쿠즈민, 레비)

적당한 상수 $C>0,\lambda>0$에 대하여, 다음이 성립한다 $$ |\mu_n(x)-\log_2 (1+x)|<Ce^{-\lambda n} $$

• $k\leq \alpha_{n+1}<k+1$이 될 조건은 $\frac{1}{k+1}<x_n(\alpha)\leq \frac{1}{k}$와 동치이다
• 따라서

$$\ell(\{\alpha\in (0,1):a_{n+1}(\alpha)=k\})=\mu_n(\frac{1}{k})-\mu_n(\frac{1}{k+1})$$

• 이로부터 다음을 얻는다

$$ \lim_{n\to \infty}\ell(\{\alpha\in (0,1):a_{n+1}(\alpha)=k\})=\log_2\left(1+\frac{1}{k(k+2)}\right)\sim \frac{1}{\log 2}\frac{1}{k^2} $$

• 가령 $n>>0$에 대하여 $a_{n+1}(\alpha)=1$을 만족하는 실수집합의 르벡측도는 $2-\log_2 3=0.415037499\cdots$에 가까워진다

메모

• $\alpha_n-\left \lfloor{\alpha_n}\right \rfloor =\{\alpha_n\}$