바일 지표 공식 (Weyl character formula)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 26일 (목) 06:05 판
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개요
  • \(V=L(\lambda)\) 이면, 캐릭터는 다음과 같이 주어진다
    \(\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}\)
  • 또다른 표현
    \(\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}\) 여기서 \(A_{\mu}=\sum_{w\in W^{0}} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]\), P : weight lattice
  • denominator identity
    \({\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}\)

 

 

함수로 이해하기
  • \($e^{\lambda}$\in \mathbb{Z}[P]\)
  • \(\mathfrak{h}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x\rangle}\)
  • \(\mathfrak{h}^{*}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}\)
  • 예
    • \( $\mu\in \mathfrak{h}^{*}$\) 에 대하여, \(A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)\)
    • \({\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}\)

 

 

 

Weyl dimension formula
  • \(\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\)

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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