코스트카 다항식 (Kostka polynomial)

개요

• 코스트카 수 (Kostka number)의 q-버전
• 갈고리 공식
• 라스꾸-슈첸베르제 (Lascoux-Schützenberger) 공식
• 대수적 조합수학의 중요한 연구대상

코스트카 수

• 코스트카 수 (Kostka number) $K_{\lambda,\mu}$
• 군 \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\)의 기약표현 $V_{\lambda}$에서 $\mu$를 무게(weight)로 갖는 무게 공간(weight space)의 차원
• 코스트카 수 $K_{\lambda,\mu}$는 슈르 다항식(Schur polynomial) $s_{\lambda}(\mathbb{x})$ 을 단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial) $m_{\mu}(\mathbb{x})$의 선형결합으로 표현할 때 다음을 얻는다

$$s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu(\mathbb{x})$$

코스트카 다항식

• 코스트카 다항식 $K_{\lambda,\mu}(q)$은 슈르 다항식 $s_{\lambda}(x)$과 홀-리틀우드(Hall-Littlewood) 대칭함수 $P_{\mu}(x,q)$의 연결계수로서 나타난다

$$ s_\lambda(\mathbb{x})= \sum_\mu K_{\lambda\mu}(q)P_\mu(\mathbb{x},q) $$

라스꾸-슈첸베르제 (Lascoux-Schützenberger) 공식

• 1978년에 라스꾸와 슈첸베르제는 $K_{\lambda,\mu}(q)$가 음이 아닌 정수 계수 다항식임을 증명
• They proved this by showing that $K_{\lambda,\mu}(q)=\sum q^{c(T)}$, where $T$ varies over all semi-standard tableaux of shape $\lambda$ and weight $\mu$ and $c(T)$ is an integer-valued function, called the charge of the tableau $T$, which is still a mysterious object in combinatorics.

리뷰, 에세이, 강의노트

• Generalized Kostka Polynomials
• Yamada, Yasuhiko. 1996. “Kostka Polynomials and Crystals.” Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku (962): 86–96.
• Foulkes, H. O. 1974. “A Survey of Some Combinatorial Aspects of Symmetric Functions.” In Permutations (Actes Colloq., Univ. René-Descartes, Paris, 1972), 79–92. Gauthier-Villars, Paris. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0416934.

관련논문

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• Okado, Masato, Anne Schilling, and Mark Shimozono. “A Crystal to Rigged Configuration Bijection for Nonexceptional Affine Algebras.” arXiv:math/0203163, March 15, 2002. http://arxiv.org/abs/math/0203163.
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