가우스의 렘니스케이트 상수

개요

• 렘니스케이트 상수 $\omega$를 다음과 같이 정의

\[\omega:=2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=2.62\cdots\]

• 타원곡선 y²=x³-x의 주기(periods)이며 초월수임.

원주율과의 비교

• 가우스는 단위원의 둘레의 길이와 렘니스케이트의 둘레의 길이의 비율을 계산하였다

\[\frac{\pi}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=1.57\cdots\] \[\frac{\omega}{2}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=1.31\cdots\] \[\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots\]

• 가우스는 이 수가 $\sqrt{2}$과 1의 산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)이 되는 것을 관찰

정리

다음이 성립한다 \[\frac{\pi }{\omega}=M(1,\sqrt2)\] 여기서 \(M(a,b)\) 은 두 수 $a, b$의 산술 기하 평균 (arithmetic-geometric mean)

증명

렘니스케이트 상수의 타원적분 표현 $$\frac{\omega}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}K(\frac{1}{\sqrt2})\label{ome}$$ 한편 란덴변환(Landen's transformation) 에서 다음을 얻었다 $$K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\label{landen}$$ \ref{ome}와 \ref{landen}를 이용하여 다음을 얻는다: $$\frac{\pi}{\omega}=\frac{2K(\frac{1}{\sqrt2}){M(1,\frac{1}{\sqrt2})}}{\sqrt{2}K(\frac{1}{\sqrt2})} = \sqrt{2}M(1,\frac{1}{\sqrt2})=M(1,\sqrt2)$$ ■

테이블

$$ \begin{array}{ccc} {n} & a_n & b_n \\ \hline 0 & 1.4142135623730950488 & 1.0000000000000000000 \\ 1 & 1.2071067811865475244 & 1.1892071150027210667 \\ 2 & 1.1981569480946342956 & 1.1981235214931201226 \\ 3 & 1.1981402347938772091 & 1.1981402346773072058 \\ 4 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ 5 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ 6 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ 7 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ 8 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ 9 & 1.1981402347355922074 & 1.1981402347355922074 \\ \end{array} $$