고전 케플러-쿨롱 시스템
개요
- 행성운동을 기술하는 해밀토니안 시스템
- 고전역학에서의 적분가능 모형의 예
- $\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3), \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3)$
- 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다
$$ H_0(\mathbf{q},\mathbf{p})=\frac{1}{2}p^2-\frac{1}{q}=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}} $$ 여기서 $p=|\mathbf{p}|,q=|\mathbf{q}|$
보존량
- 보존량 : 에너지 $H_0$, 각운동량 $\mathbf{G}$, 룽게-렌츠 벡터 $\mathbf{E}$
$$ \begin{aligned} H_0 &=\frac{1}{2} \left(p_1^2+p_2^2+p_3^2\right)-\frac{1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}} \\ \mathbf{G}&=\mathbf{q}\times \mathbf{p}=(p_3 q_2-p_2 q_3,p_1 q_3-p_3 q_1,p_2 q_1-p_1 q_2) \\ \mathbf{E}&=\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q}\\ &=(p_2^2 q_1-p_1 p_2 q_2+p_3^2 q_1-p_1 p_3 q_3-\frac{q_1}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_2-p_2 p_1 q_1+p_3^2 q_2-p_2 p_3 q_3-\frac{q_2}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}},p_1^2 q_3-p_3 p_1 q_1-p_2 p_3 q_2+p_2^2 q_3-\frac{q_3}{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}) \end{aligned} $$
- 보존량 사이에 다음의 관계가 성립한다
$$ \mathbf{G}\cdot\mathbf{E}=0 \\ E^2-1=2H_0G^2 $$
궤도의 방정식
- $\theta$를 위치벡터 $\mathbf{q}=\mathbf{q}(\theta)$와 룽게-렌츠 벡터 $\mathbf{E}$가 이루는 각도라 두면, 다음이 성립한다
$$ \mathbf{q}\cdot \mathbf{E}=|\mathbf{q}||\mathbf{E}|=q E \cos \theta \label{orb} $$
- \ref{orb}의 좌변은 다음과 같다
$$ \begin{aligned} \mathbf{q}\cdot \mathbf{E}&=\mathbf{q} \cdot (\mathbf{p}\times \mathbf{G}-\frac{\mathbf{q}}{q})\\ &= \mathbf{G} \cdot (\mathbf{q}\times \mathbf{p})-\frac{\mathbf{q}\cdot \mathbf{q}}{q}) \\ &= G^2-q \end{aligned} $$
- 따라서 다음을 얻는다
$$ q E\cos \theta=G^2-q $$ 즉, $$ q(\theta)=\frac{G^2}{1+E\cos \theta} $$
- 이로부터 $0<E<1$일 때, 타원궤도를 얻는다
메모
- $\vec{A} = \left(p \times L\right) - m k\cdot \frac{\mathbf{r}}{r}$
- http://physics.stackexchange.com/questions/tagged/runge-lenz-vector
- http://analyticphysics.com/Runge%20Vector/The%20Symmetry%20Corresponding%20to%20the%20Runge%20Vector.htm
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
리뷰, 에세이, 강의노트
- The symmetries of the Kepler problem
- Cordani, Bruno. ‘The Kepler Problem’. In Geography of Order and Chaos in Mechanics, 175–209. Progress in Mathematical Physics 64. Springer New York, 2013. http://link.springer.com.ezproxy.library.uq.edu.au/chapter/10.1007/978-0-8176-8370-2_6.
관련논문
- Keane, Aidan J., Richard K. Barrett, and John F. L. Simmons. ‘The Classical Kepler Problem and Geodesic Motion on Spaces of Constant Curvature’. Journal of Mathematical Physics 41, no. 12 (2000): 8108. doi:10.1063/1.1324652.